Одними из основных понятий в математике являются точка и пространство, которые в настоящее время вводятся без определения. Однако в древнегреческой математике существует определение точки в «Началах» Евклида — (букв. точка есть, где часть ничто)[1]. В «Схолиях» к «Началам» Евклида приводится пифагорейское определение точки как которое обычно переводят как «единица, имеющая положение»[2]. Но собственно, какой объект здесь понимается под единицей, если натуральное число или метрика, то как они могут иметь положение; если это Единое или универсум, то его положение будет состоянием и в нем можно только быть. При таком переводе пропадают некоторые особенности, во-первых, в [3] ударение поставлено как в — единственный, один только, одинокий; во-вторых, в словаре Вейсмана приводятся случаи употребления причастия в смысле направляться, простираться, проходить через что-либо. Если учитывать эти особенности, то фразу можно перевести как «единственная, направляющая положение». Существует ли связь между указанными определениями точки?

В современной математике принято считать каноном античной математики «Начала» Евклида, при этом обычно из виду упускаются другие дошедшие до нас древнегреческие памятники. Но, вообще говоря, операция присоединения отрезка к отрезку, т.е. операция суммы, вводится в «Данных» Евклида, здесь же находятся предложения о подобии, теорема Пифагора. Кроме того, Папп Александрийский в «Математическом сборнике» открывает «Данными» список книг, которые составляют 32 тома «Сокровищницы анализа». И им предварительно сообщается, что «Начала» являются простым учебником геометрии и написаны в манере синтеза. В списке перечислено 11 наименований 12 трактатов всего четырех авторов, среди которых Евклиду принадлежат еще два сочинения: «Поризмы» (3 т.) и «Места к поверхностям[4]» (2 т.). Заканчивается он «Средними» (2 т.) Эратосфена, там же «Коники» (8 т.) Аполлония Пергского и «Телесные места[5]» (5 т.) Аристея. В издании 1706 года «Сборника» Паппа Галеем было вставлено пропущенное наименование книги Аполлония как «Разграниченная секущая»[6] (2 т.), в соответствии с упоминаниями в описании содержания этого трактата.

В «Данных» нет постулатов и различается данность по величине, по «идее прямолинейной схемы» (т.е. по виду прямолинейной фигуры) и по положению.

[7]
(говорят, [что] области и линии, и углы [есть] данные по величине, которым можно доставлять равное[8]).

(скажут, [что] точки и линии, и углы [есть] данные по положению, которые всегда держат то же самое место[9]).

Действительно, отдельно определяется, что на краях линии имеются точки. Точка имеется при пересечении двигающихся линий, однако она пропадает при слиянии или наложении линий. Тогда при пересечении линий всегда имеется место точки, и не обязательно она сама. Но собственно, что считать краем линии и совпадает ли он с концом? Кроме того, постулируется возможность продолжить отрезок по прямой, но останутся ли точки по краям теми же — не понятно. И во всех этих случаях каждый раз имеется математический объект как целое и только потом его точки, линии и углы, т.е. точка появляется необходимым образом.

Риман в работе 1854 г. «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» вводит линию как однократную непрерывную протяженность, плоскость как двукратную и т. д. В геометрии есть движение, но отсутствует время, и, следовательно, любое положение точки равновозможно во времени, в силу этого существует вся линия как целое в пространстве и точка может быть представлена в любом месте линии. Точка не обладает размером, а значит, сама по себе неразличима. Мы настолько привыкли к возможности где угодно поставить точку, что забываем спросить, а каковы достаточные условия существования точки?

В «Схолиях» к Евклиду упоминается, что «пифагорейцы полагали, что точка соответствует единице, линия — двойке, плоскость — тройке, тело — четверке»[10]. В современной математике мы считаем, что, с одной стороны, любое число представлено на прямой точкой, с другой стороны, оно связано мерой, в качестве которой рассматривается отрезок на прямой, представленный куском прямой между двумя точками с именами 0 и 1. При этом явного определения понятия «прямой» нет. Евклид в «Началах» определяет прямую:

(прямая линия есть [та, которая] сама в себе точками полагается равной[11]).

Если это определение читать с точки зрения современных представлений в математике буквально, то под точки автоматически отводятся самоподобные «меры» линии, при этом весь процесс глобально связен. Евклид в первом постулате соединяет точки прямой линией, которая и будет определять продолжение отрезка[12] во втором постулате. Четвертый постулат:

(все прямые углы являются равными друг другу)

- необходим с точки зрения определения прямого угла:

(если прямая поставлена на прямую, то [она] образует один за другим равные друг другу углы, каждый из равных углов есть прямой, и т.д.[13]).

Это определение зависит от последовательности рассмотрения углов и от возможности поставить одну прямую на другую, но в постулате и вводится возможность такого момента, при котором все углы одновременно равны, потому что только в этом случае все равно с какого именно угла начать считать. Кроме того, Евклид не приводит никаких дополнительных постулатов для стереометрии, что несколько странно, так как переход к пространству не обоснован. Однако, если предположить, что Евклид во всех «Началах» находится в трехмерном пространстве и приводит обоснование для того, чтобы работать с идеальной плоскостью в этом пространстве, то в стереометрии и не должно появляться дополнительных оснований. Платон в «Государстве» приводит остроумный пример: «волчок весь целиком стоит и одновременно движется — он вращается, но острие его упирается в одно место. Можно привести и другие примеры предметов, совершающих круговращение, не меняя места. Но мы отбросим все это, потому что в этих случаях предметы пребывают на месте и движутся не в одном и том же отношении»[14].

В «Началах» постулируются следующие действия: построение отрезка, продолжение отрезка, построение круга, и только потом равенство всех прямых углов. Действительно, прямую, отрезок и круг нельзя уравнять, поскольку их общей мерой является точка, а вот прямые углы можно. Следовательно, вместе третий и четвертый постулаты обеспечивают возможность построения в центре круга перпендикуляра к любому радиусу этого круга, но вообще говоря, это перпендикуляр к плоскости круга. Для перпендикулярности прямых в одной плоскости нам необходимы все четыре постулата вместе, так как сначала нужны две точки, соединенные прямым отрезком. Вращение этого отрезка около одной из вершин образует круг и, учитывая возможность продолжения отрезка, задаст всю плоскость. На точку в центре круга нужно идеально поставить перпендикуляр, и только потом можно рассматривать первый прямой угол, образованный перпендикуляром и радиусом, проведенным в точку на окружности. Перпендикулярность обязательно должна быть идеальной, так как иначе на горизонтальной линии будет имеющая части «тень» вертикальной, т. е. их пересечение не будет точкой, где часть ничто. Поскольку радиус и перпендикуляр, образующие первый прямой угол, можно продлить за вершину угла, то продолжение одного из них и определит второй прямой угол, третий однозначно задается продолжением другого, после этого все три угла образуют идеальную плоскость, в которой автоматически получается четвертый угол и где можно продолжать считать по круговому обходу сколь угодно долго. Для второго угла имеется две возможности, третий однозначен, может быть поэтому у пифагорейцев первое число это три и все индукции Евклида обрываются на четвертом шаге.

Но нам еще нужно прямую поставить и, кроме того, если одна точка есть центр, то другая будет описывать окружность, для которой есть отдельный термин — , и почему собственно внутренние места отрезка образуют круг. Тут уж скорее прав Чжуан-Цзы и «угломер не имеет квадратной формы, циркуль не описывает круг»[15].

Допустим, что вращением прямой вокруг одной из своих точек можно образовать коническую поверхность, другая точка на фиксированной длине от первой будет описывать окружность. Для построения центра окружности нам нужны на ней четыре места, которые должны разделить окружность на четыре самоподобных дуги так, чтобы было возможно построение двух пересекающихся диаметров. Точка из вершины конуса еще должна «увидеть» это пересечение, в соответствии с идеей правильного треугольника «как-то по оси конуса попасть» в центр окружности и «занять» место. Это движение сделает кусок оси конуса явным, и можно соединить точку на окружности и точку в центре радиусом. Когда конец радиуса по ходу вращения встретит место из множества концов самоподобных дуг, то из радиуса и куска оси образуется первый прямой угол, далее с учетом направления вращения в концах самоподобных дуг последовательно будут получаться следующие прямые углы. После полного оборота пятый прямой угол зафиксирует ось конуса в центре окружности и точка в центре «сможет определить» величину круга. Только потом точки смогут начать двигаться по радиусу и это движение задаст круг.

Итак, в античности тоже все свелось к двум произвольным точкам. Однако нужно заметить, что, например, при квадрировании круга важной является вполне определенная точка линии. И решение Архита, где точка возникает как пересечение поверхностей тора, цилиндра и конуса, было корректным с точки зрения дедукции. Интересно, что трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга упоминаются вместе (исключением является Архимед), хотя грекам была известна разная степень сложности решения, и, может быть, пытались найти совместное решение этих проблем. Архимед вводит прямую как кратчайшую линию между точками, т.е. с точки зрения современной математики здесь сразу вводится метрика.

Если вернуться в «Данные» Евклида, то после определения данности по величине, следуют определения данного «логоса», данность прямолинейной фигуры по виду, данность по положению и только после этого данность величины круга. Пифагорейцы получали пространство эманацией точки, которая подобно героям Гомера, вероятно, может двигаться во времени независимо от движения в пространстве. Если все это учесть, то ответ на вопрос о размерности математического пространства, где всегда можно получить точку по положению, не является тривиальным. В связи с этим определение точки как «единственной, направляющей положение» математически не является бессмысленным.

В современной математике существует понятие системы независимых векторов, которые задают систему координат. В геометрии их независимость связана с их перпендикулярностью. То есть в геометрии с учетом метрики для плоскости получается квадрат, а для пространства — куб (правда и квадрат, и куб ориентированные). По аналогии с трехмерным пространством вводятся многомерные кубы. Если вспомнить, что у китайцев Земле соответствует символ квадрата, куб с точки зрения правильных тел есть символ «земли», а второй закон Кеплера утверждает, что при движении по эллиптической траектории квадраты времени относятся как кубы пути, то слово геометрия скорее следует читать как «земля есть мера». Но что мы мерим Землей? Пространство? Интересно отметить, что в греческом языке пространство - - связано со страной и землей, в русском — со страной и стороной, в немецком языке — Raum — это одновременно космос, вселенная, комната. И как именно «Земля» «вертится» у Галилея и на чем собирался «повернуть» ее Архимед?

С единичным отрезком связана процедура построения канторова множества. Множество строится следующим образом: задается итерационный процесс, в котором единичный отрезок делится на три равные части, средний интервал выкидывается, а два отрезка остаются, затем берется пересечение всех оставшихся частей. При этом построение, как правило, сопровождает картинка, в которой смещаются именно оставшиеся части, а не та, которую выкинули. Но для осуществления пересечения оставшихся отрезков нужна актуальная бесконечность, поскольку уже после первого шага у нас будет два непересекающихся отрезка, и в силу этого потеряется связность. После того как пересекли отрезки получится некоторая совокупность отдельных точек, поскольку мера этого множества равна 0. Точки, соответствующие концам отрезков, будут иметь числовые имена 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, ... Можно показать, что этому множеству в качестве внутренних будут принадлежать точки с именами 1/4, 3/4, 1/12, 11/12. Но выяснение принадлежности этому множеству точки с именем или где — трансцендентное число Фейгенбаума, связанное с переходом от периода 2ⁿ к периоду 2ⁿ⁺¹, не является тривиальной задачей. Количество остающихся отрезков тоже растет как 2ⁿ.

Однако если бы мы захотели строить множество Кантора алгоритмически, то нам пришлось бы столкнуться со следующими трудностями. Во-первых, придется уточнять «среднюю часть» и «выкидывать», т.к. на втором шаге возникнет «между» 1/3 и 2/3, но среднюю часть мы уже выкинули. Во-вторых, на каждом шаге деление отрезков на части и выкидывание средней из них нужно делать синхронно. В-третьих, как индуцировать количество и длину части, поскольку длина сохраняется только у выкидываемых интервалов, количество которых растет как n, и в сумме эти длины как раз составляют 1. При всем этом мы должны их именно «выкидывать», например, переводить в другое или каждый раз в разные измерения. Но если мы хотим затем их суммировать, то нам придется как-то запоминать количество шагов и его длину или строить из всех этих интервалов прямую как раз в соответствии с определением прямой у Евклида. Следовательно, нам нужна глобальная связность некоторой меры. Интересно отметить, что 1/e мы выкинем на первом шаге, но именно это число есть единица без одной из самоподобных частей в степени, где степень — это количество этих частей, по которому и берется предел. И не является ли точка, соответствующая этому числу той самой «единственной, направляющей положение» в определении пифагорейцев.

Лосев в «Диалектических основах математики» упрекает Гильберта в непоследовательности и тавтологичных повторах аксиоматики. «Гильберт «не знает», что такое прямая; и, определивши ее двумя точками, он еще не знает, имеются ли эти две точки на ней фактически или нет»[16]. Но все дело именно в том, что вряд ли хоть один математик знает это, особенно если учитывать замечание Гильберта о том, что «надо, чтобы такие слова, как «точка», «прямая», «плоскость», во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами «стол», «стул», «пивная кружка»[17]. И наша обычная математическая неясность устраняется только лишь при конкретном исследовании, где всегда нужно «шаг за шагом прослеживать способы манипуляции над данным числовым материалом»[18]. Но если нам в конце концов удастся синхронизация пространства-времени, может быть, мы наконец сможем оценить устойчивость равновесия и открытую окрестность точки. Кажется, после того как они разминулись, ее уже видел Морис Бланшо и даже оставил мемуары об этом, «когда, все так же пребывая в охватившем меня со всех сторон преисполненном мощи созерцании, я заметил, что мои глаза зорко следят за чем-то оставшимся поначалу мною несхваченным, за точкой, нет, не точкой, а за расцветом, улыбкой сразу целого пространства, она выражала, занимала все пространство...»[19]

Если вернуться к обычному символьному инструменту математика, то мы Землей заполняем Пространство для того, чтобы найти Точку опоры актуальной бесконечности. Считается, что дедукция появилась в Греции и слово «математика» происходит от — Наука, но как-то мы умудрились потерять предмет нашего знания. Может быть, имеет смысл написать звук q по разному и повторить слово на разных диалектах и в различных стилях «и» — [20] [21] — что означает безумие или блуждание без основания конечно попусту Наука.

Наука в том, чтобы усматривать необходимость, допускать возможности, понимать достаточность, оценивать скорости сходимостей различных необходимо и достаточно, хотя бы с точностью до выколотой окрестности действительной точки — части Ничто.

Итак, если необходимость точки возникает как пересечение линий, достаточно ли пересечения трех поверхностей для нахождения точки, направляющей положение, т.е. точки относительно которой получает положение точка с именем «единица» и в пространстве появляется единица пути или метрика. Но какова должна быть минимальная размерность пространства, где всегда можно получить точку опоры актуальной бесконечности, т.е. Точку где часть Ничто, актуализация которой и есть «Единое» Платона или «Великая Пустота» пути даосов. И только потом можно будет понять, что означает определение прямой у Евклида и сколько на ней одновременно «равных» точек. Тогда, возможно, кратность точек и последовательность мест, связанные размерностью пространства, будут ориентировать прямую и определять ее края. Может быть, это и есть Наука — достаточность Ничто и необходимость пути через Точку.

Источники греческих цитат.

«Начала» Евклида — Mugler Ch. Dictionnare Historique de la Terminologie Géométrique des Grecs. Paris, 1958.

«Данные» Евклида — Euclidis Data cum commentario Marini et scholiis antiquis / Ed. H. Menge. Lipsiae, 1896

Схолии к Евклиду — Флоренский П. Symbolarium // Сочинения в 4-х томах. Т. 2 С. 575

Названия трактатов «Сокровищницы анализа» — Pappus of Alexandria. Book 7 of the Collection / Ed. A. Jones, in 2 parts. N.-Y., 1986. Pt. 1. P. 84.

Ответ автора
на отзывы

Как мне представляется, принятие четвертого постулата следует из необходимости наглядного введения в геометрию, а возможно, и в математику, «равенства» и понятие конической поверхности здесь не требуется. Кроме того, форма «все прямые углы» одновременно полагает безразмерную точку, правда, только необходимым образом. Однако если в трех первых постулатах математические объекты допускали некоторый чертеж на какой-нибудь реальной поверхности, то четвертым постулатом вводится первый «идеальный» объект и возможность абстрагирования. Следовательно, становится необходимым переход к некоторому нейтральному способу зрения или идеального видения. В этом случае четвертый постулат эквивалентен требованию изотропности математического пространства, а пятым постулатом введется его гомогенность. При этом интересно, что все постулаты упорядочены: наложение связности, открытость, финитность и сингулярное положение центра, общность равенства, существование потенциально достаточной точки.

Требование нейтрального зрения, вообще говоря, представляет некоторую реальную сложность осуществления, связанную с квантификацией светового пучка и физиологическими особенностями. Поскольку можно наложить связность между двумя точками, то ее можно рассматривать как метрику. Вершина конуса в этом случае «видит», а вращающаяся точка «смотрит», и при достижении конца третьей из самоподобных дуг, т.е. «четвертого места», уже возможны два пересекающихся диаметра и возникнет перпендикулярная ось конуса. Ровно в это мгновение верхняя точка может «схватить картинку» и нечто увидеть, т.е. стать «смотрящей». Вращающейся точке при этом придется куда-то прыгать и стать «видящей». В случае сохранения метрики возникнет другой конус. Связность при этом будет зависеть от пройденных трех самоподобных дуг и возможной четвертой. В силу альтернативности второй дуги и однозначности третьей, четвертая дуга существует. «Схваченные картинки» склеиваются в поверхность, на которую можно смотреть и в которой можно что-то видеть. Если метрика не сохраняется, то с локальной точки зрения возникает случайный процесс, а с глобальной — потеря квазиустойчивой дифференциации фаз смотрения и видения, которая приводит к изменению топологических свойств.

Но идеальное видение, вообще говоря, не должно зависеть от метрики. Тогда при потере хаусдорфовой отделимости нужно сохранить хотя бы регулярность, чтобы хоть как-то видеть объект и смотреть на мембрану, т.е. получить возможность процесса понимания, блуждая в котором будет нужно вербализовать понятие. В остальных случаях возникает «слепое» блуждание, где при преобладании видения возникает Стрела или парадокс паузы, а при смотрении - Единая область или нечто. При равновесии увиденного и просмотренного станет возможным идеальное видение актуального Ничто из любой необходимой точки и усмотрение смысла в достаточной Точке, относительно которой существует проекция необходимых точек в область-круг. И, скорее всего, квадрирующей этот круг точке действительно придется идти «шаг за шагом» по диагонали квадрата в центр.

Вообще говоря, греческая речь этот пройденный путь зафиксирует и в новогреческом языке — это конечно, безусловно, действительно, следовательно; означает глаза, взгляд, ботанический термин «почка», а при использовании в бытовой ситуации может оказаться конфоркой кухонной плиты или петлей в вязаных вещах.

И мне кажется интересным эпизод XIX из жизни Пифагора, упоминающийся Ямвлихом, где описываются особенности обучения достигшего преклонного возраста гиперборейского жреца Абарида, который вручил Пифагору стрелу. «Пифагор же, приняв стрелу и не удивясь ей и даже не спросив, почему тот дарит ее, но, ведя себя так, как будто он действительно бог, и в свою очередь, отведя Абарида в сторону, показал свое бедро[22] из золота»[23].

Кроме того, существует символическое «потерянное слово» мистиков, по поводу которого «на Востоке рассказывают некоторую древнюю историю о том, что в одной стране когда-то существовала стена тайны. Если кто бы то ни было забирался на эту стену, чтобы посмотреть на другую сторону, то вместо того, чтобы вернуться и рассказать, что там, он улыбался, прыгал туда и никогда не возвращался назад. Так людям этой страны стало любопытно узнать, что за тайна находится за этой стеной. Однажды, когда один человек забрался на эту стену, чтобы посмотреть, что там на другой стороне, они приковали к его ногам цепи и держали его, чтобы он не мог спрыгнуть. Когда он посмотрел на другую сторону, он также пришел в восторг от того, что увидел и улыбнулся; а те, кто стоял у подножия стены — желающие узнать, что же он расскажет — потянули его назад. Но к их великому разочарованию, он лишился дара речи»[24]. При этом интересно, а размеры «стены» случайно не связаны с «размером» порога «чудовищного» порядка, кажется 10 в 20-ой степени, между «динамической необратимостью системы» и «механическим следованием ее частей». Почему в живой клетке при ее делении, т.е. при образовании мембраны и отделении стенок, сложное вихреобразное движение ДНК замирает на месте и возникает «форма паузы». И зачем расплетается «косичка» ДНК перед выстраиванием параллельной.

Возникает вопрос, — становятся ли понятными следствия эксперимента, потому что возможен опыт? В этом случае меня интересует не только «грамматический контекст» единого дискурса точки, но и «семантический текст» единицы. Почерк последней, скорее всего, может регулярно заблуждаться в ориентации, но периодически утрачивает возможность заблудится в пути и должен следовать необходимости «держания места и выбору дистанции», т.е. «доказательству» и «оценке».

Если в «Началах» постулаты упорядочены и, возможно, определения последовательны, то сами книги должны согласованно следовать синтезу смысла. В связи с чем в этом «простом учебнике геометрии» требуется прояснить смысл самой древней восьмой книги, авторство которой приписано «изобретателю погремушки» Архиту из Тарента[25].

Иллюстрации:
1. А. Дьячков. Фиорд. 1990.
2. А. Дьячков. Событие. 1993.